PDF- -ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ - akademikaduedutr - ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL

ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL LİMİT ROTASYONLAR TAR...

Description

ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MAT-YL-2012-0020

LİMİT ROTASYONLAR TARAFINDAN ÜRETİLEN GRUPLAR VE BÖLÜM YÜZEYLERİ

Eren GÜMÜŞALAN

Tez Danışmanı: Yrd.

Doç.

Adnan MELEKOĞLU

AYDIN

iii ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE AYDIN Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Programı öğrencisi Eren GÜMÜŞALAN tarafından hazırlanan Limit Rotasyonlar Tarafından Üretilen Gruplar ve Bölüm Yüzeyleri başlıklı tez,

Unvanı,

Adı Soyadı

Kurumu

İmzası

Başkan : Yrd.

Doç.

Murad ÖZKOÇ

MĞÜ

Doç.

Adnan MELEKOĞLU

Doç.

Süleyman GÜLER

Jüri üyeleri tarafından kabul edilen bu yüksek lisans tezi,

Enstitü Yönetim Kurulunun ……………….

Sayılı kararıyla ………………..

Prof.

Cengiz ÖZARSLAN Enstitü Müdürü

v ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE AYDIN Bu tezde sunulan tüm bilgi ve sonuçların,

bilimsel yöntemlerle yürütülen gerçek deney ve gözlemler çerçevesinde tarafımdan elde edildiğini,

çalışmada bana ait olmayan tüm veri,

düşünce,

sonuç ve bilgilere bilimsel etik kuralların gereği olarak eksiksiz şekilde uygun atıf yaptığımı ve kaynak göstererek belirttiğimi beyan ederim.

Eren GÜMÜŞALAN

vii ÖZET LİMİT ROTASYONLAR TARAFINDAN ÜRETİLEN GRUPLAR VE BÖLÜM YÜZEYLERİ Eren GÜMÜŞALAN Yüksek Lisans Tezi,

Matematik Anabilim Dalı Tez Danışmanı: Yrd.

Doç.

Adnan MELEKOĞLU 2012,

Birinci bölümde giriş kısmı verildi.

İkinci bölümde tezin ana konusu için gerekli olan temel bilgilere yer verildi.

Üçüncü bölümde kısaca hiperbolik geometri tanıtıldı.

Dördüncü bölümde önce limit rotasyonlar tanıtıldı.

Ardından limit rotasyonlar tarafından üretilen gruplar ve bunların bölüm yüzeylerinin bazı topolojik ve geometrik özellikleri incelendi.

Anahtar Sözcükler: Hiperbolik geometri,

Hiperbolik düzlem,

İzometri grubu,

Limit rotasyon,

Bölüm yüzeyi.

ix ABSTRACT GROUPS GENERATED BY LIMIT ROTATIONS AND QUOTIENT SURFACES Eren GÜMÜŞALAN M.Sc.

Thesis,

Department of Mathematics Supervisor: Assist.

Prof.

Adnan MELEKOĞLU 2012,

which consists of four chapters,

is to investigate the quotient surfaces of the groups generated by limit rotations in the hyperbolic plane.

The first chapter is devoted to the introduction.

The second chapter is devoted to the background material.

In the third chapter,

hyperbolic geometry has been shortly introduced.

In the fourth chapter,

first limit rotations have been introduced.

Then the groups generated by limit rotations and some topological and geometrical properties of their quotient surfaces have been investigated.

Key words: Hyperbolic geometry,

Hyperbolic plane,

Isometry group,

Limit rotation,

Quotient surface.

ÖNSÖZ Bu tez çalışmam boyunca benden yardımlarını,

sabrını ve bilgisini esirgemeyen danışman hocam Yrd.

Doç.

Adnan MELEKOĞLU’ na (Adnan Menderes Üniversitesi,

Matematik bölümü),

manevi destekleriyle beni yalnız bırakmayan sevgili aileme teşekkürü bir borç bilirim.

İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY SAYFASI ...................................................................

iii BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI ..........................................................

v ÖZET ...........................................................................................................vii ABSTRACT .................................................................................................ix ÖNSÖZ .........................................................................................................xi SİMGELER DİZİNİ ....................................................................................

xv ŞEKİLLER DİZİNİ ...................................................................................

GİRİŞ .........................................................................................................1 2.

TEMEL BİLGİLER ..................................................................................4 2.1 Topolojik Gruplar ....................................................................................4 2.2 Ayrık Gruplar...........................................................................................5 2.3 Grup Etkisi ...............................................................................................5 2.4 Temel Bölge.............................................................................................6 2.5 Bölüm (Yörünge) Uzayları ......................................................................8 2.6 Bir Çember Üzerinde Yansıma (İnversiyon) .........................................

10 3.

HİPERBOLİK GEOMETRİ ....................................................................

20 4.

LİMİT ROTASYONLARIN ÜRETTİĞİ GRUPLAR VE BÖLÜM .........

YÜZEYLERİ ...............................................................................................

30 5.

SONUÇ ....................................................................................................

SİMGELER DİZİNİ Hiperbolik düzlem için birim daire modeli Hiperbolik düzlem için üst yarı düzlem modeli Kompleks sayılar kümesi Reel sayılar kümesi Tam sayılar kümesi PGL(2,

) Hiperbolik düzlemin tüm izometrilerinin grubu PSL(2,

) Hiperbolik düzlemin konform izometrilerinin grubu

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1.

G grubu için bir temel bölge ..............................................................

G grubu için temel bölge ...................................................................

G grubu için temel bölgeler ...............................................................

Tor yüzeyi ...........................................................................................

Sonsuz bir silindir yüzeyi ....................................................................

Bir çember üzerinde yansıma ..............................................................

Yalancı küre ........................................................................................

Birim daire modeline göre doğrular ....................................................

Hiperbolik doğrular .............................................................................

Paralel,

ayrık paralel ve kesişen hiperbolik doğrular ..........................

Hiperbolik düzlemde öteleme .............................................................

Hiperbolik düzlemde rotasyon ............................................................

Hiperbolik düzlemde ötelemeli yansıma .............................................

Asimptotik üçgen ................................................................................

Hiperbolik düzlemde limit rotasyon ...................................................

G grubu için temel bölge ...................................................................

Şekil 4.9.

G grubu için temel bölge ..................................................................

H grubu için temel bölge ................................................................

Şekil 4.13.

Şekil 4.14.

Şekil 4.16.

Şekil 4.17.

G H G H

grubu için temel bölge .................................................................

GİRİŞ Düzlemde bir L'doğrusu ve bu doğruya ait olmayan bir p noktası verildiğinde,

p noktasından geçen ve L'doğrusuna paralel bir tek doğru vardır.

Bu ifade Öklid’in beş temel aksiyomlarından biri olan paralellik aksiyomuna denktir.

Paralellik aksiyomunu sağlamayan geometri arayışları sonucunda Hiperbolik Geometri ortaya çıkmıştır.

Bu geometriye göre,

düzlemde bir L'doğrusu ve bu doğrunun üzerinde bulunmayan bir p noktası verildiğinde,

p noktasından geçen ve L'doğrusunu kesmeyen sonsuz doğru mevcuttur.

Hiperbolik düzlem için,

üzerinde geometrik çalışmaların yapılabileceği değişik modeller keşfedilmiştir.

kümesi,

üzerinde tanımlanan

metriği ile hiperbolik düzlem için bir modeldir.

Bu model üst yarı düzlem modeli olarak adlandırılır.

Üst yarı düzlem modeline göre hiperbolik düzlemdeki doğrular,

reel eksene dik olan doğrular ve merkezi reel eksen üzerinde bulunan çemberlerin üst yarı düzlemde kalan kısımlarıdır.

  z  | | z | 1 kümesi de üzerinde tanımlanan

metriği ile hiperbolik düzlem için bir diğer modeldir.

Bu model ise birim daire modeli olarak bilinir.

Bu modele göre hiperbolik doğrular birim çemberi dik kesen Öklid doğrularının ve çemberlerinin kümesinde kalan kısımlarıdır.

Hiperbolik düzlem için başka modeller de mevcuttur.

Fakat en çok kullanılan modeller yukarıda bahsedilen iki modeldir.

İzometriler,

açılar,

çokgenler gibi bazı geometrik kavramlar Öklid geometrisinden de yararlanılarak daha kolay belirlendiği için bu iki modeli kullanmak daha avantajlıdır.

biçimindeki dönüşümlerden oluşur.

Konform olmayan izometriler ise z

Dolayısıyla tüm izometrilerin bileşke işlemine göre oluşturduğu grup PGL(2,

Bu iki model arasında J ( z) 

olarak tanımlanan J :  dönüşümü bir izometridir.

Dolayısıyla,

h üst yarı düzlemde bir hiperbolik izometri olmak üzere,

birim dairede bir hiperbolik izometri JhJ 1 biçimindedir.

Öklid düzleminde olduğu gibi hiperbolik düzlemin izometrileri de yansımaların bileşkesi olarak ifade edilebilir.

Hiperbolik düzlemde sonsuzda kesişen iki doğru üzerindeki yansımaların bileşkesi bir izometridir ve limit rotasyon olarak adlandırılır.

Limit rotasyonların hiperbolik düzlemde sabit noktaları bulunmamaktadır,

ancak sonsuzdaki bir noktayı sabit tuttukları için bu ismi almışlardır.

Hiperbolik düzlemdeki diğer izometrilerin aksine bu tür izometrilerin benzerleri Öklid düzleminde mevcut değildir.

Hiperbolik düzlemde köşeleri sonsuzda olan n kenarlı bir çokgen göz önüne alınsın.

Bu çokgenin kenarları hiperbolik doğrulardır.

Bu doğruların üzerindeki hiperbolik yansımalar bir G grubu üretir.

Bu grubun konform elemanları G grubunun bir H alt grubunu oluştururlar.

Bu alt grup yardımıyla elde edilen bölüm uzayı,

üzerinden n tane nokta çıkarılmış bir küreye homeomorftur.

Dolayısıyla,

bu küre üzerinde n tane delik bulunur.

Bu ise elde edilen kürenin kompakt olmadığını gösterir.

Bu şekilde elde edilen küreler yerel olarak hiperbolik

Bu çalışmada

limit rotasyonlar ve bunlar tarafından üretilen ayrık grupların bölüm uzayı olan hiperbolik yüzeylerin bazı topolojik ve geometrik özellikleri incelenecektir.

TEMEL BİLGİLER Bu bölümde,

sonraki bölümlerde karşılaşılacak olan bazı temel kavramlar verilecektir.

Topolojik Gruplar Tanım 2.1.1 G bir grup ve aynı zamanda bir topolojik uzay olsun.

Eğer her g ,

 ( g )  g 1 olarak tanımlanan  ve  fonksiyonları sürekli ise G ’ye bir topolojik grup denir.

Örnek 2.1.1 ( ,

) toplamsal grubu Öklid topolojisiyle birlikte ele alındığında bir topolojik gruptur.

Tanım 2.1.1 de verilen  ve  fonksiyonları bu örnek için şu şekilde tanımlanır:

Bu fonksiyonların sürekli olup olmadıklarını araştıralım.

Bunun için,

Öklid topolojisinin verilen bir tabanında bulunan tüm kümelerin  ve  fonksiyonları altında ters görüntülerinin sırasıyla ve topolojik uzaylarında açık  olduklarını göstermek gerekir.

d  ve c' d'olmak üzere,

d ) açık aralıklarından oluşan ailenin Öklid topolojisi için bir taban olduğu biliniyor.

Bu durumda,

Böylece,

 ve  dönüşümleri süreklidir ve ( ,

) toplamsal grubu bir topolojik gruptur.

Örnek 2.1.2 Benzer şekilde,

) grubunun bir topolojik grup olduğu gösterilebilir.

Ayrık Gruplar Tanım 2.2.1 G bir topolojik grup olmak üzere bu grubun bütün tek noktalı altkümeleri açık ise G topolojik grubuna bir ayrık grup denir.

O halde,

ayrık topoloji ile birlikte düşünülürse,

her topolojik grup bir ayrık grup olur.

Tanım 2.2.2 X bir topolojik uzay ve A  X bir alt uzay olsun.

Her a  A için {a} kümesi alt uzayda açık ise A uzayına X topolojik uzayının bir ayrık alt uzayı denir.

Tanım 2.2.3 G bir topolojik grup ve H ,

G topolojik grubunun bir alt grubu olsun.

Şayet G üzerindeki topolojinin H üzerinde ürettiği topoloji ayrık topoloji ise H grubuna G grubunun bir ayrık alt grubu denir.

Örnek 2.2.1 ( ,

 ) toplamsal grubunun ayrık bir alt grubudur.

Grup Etkisi Tanım 2.3.1 G bir grup ve A   bir küme olsun.

Eğer  : G  A  A dönüşümü aşağıdaki şartları sağlarsa bu dönüşüme G grubunun A kümesine bir etkisi denir:

a)  a ii ) Her a  A ve her g1 ,

Burada e ,

G grubunun birim elemanıdır.

Her a  A ve her g  G için

a)  a şeklinde tanımlanan  dönüşümü G grubunun A kümesi üzerine bir etkisidir.

Buna aşikar etki denir.

Örnek 2.3.2 G bir grup olsun.

Her g ,

h)  gh şeklinde tanımlanan  dönüşümü G grubunun kendi üzerine bir etkisidir.

Çünkü her g  G için  (e,

h)  g1 g 2 h  g1 ( g2 ,

Dolayısıyla  dönüşümü G grubunun kendi üzerine bir etkisi olur.

Temel Bölge Tanım 2.4.1 A bir topolojik uzay ve G  {g g : A  A homeomorfizma} olmak üzere,

her a  A ve her g  G için  ( g ,

a)  g (a) olarak tanımlanan  : G  A  A dönüşümünün G grubunun A kümesine bir etkisi olduğu gösterilebilir.

Bu durumda,

A topolojik uzayının aşağıdaki özellikleri sağlayan kapalı bir K alt kümesine G grubu için bir temel bölge denir:

(ii)  g  G  {e} için K  g (K)   .

Burada

K göstermektedir.

kümesinin içini,

Şekil 2.1 de görülen F kümesi bu G grubu için bir temel bölgedir.

Şekil 2.1.

G grubu için bir temel bölge Örnek 2.4.2 1 ve 2 sıfırdan farklı ve 1  2 (  ) özelliğinde iki karmaşık sayı olmak üzere,

f ( z )  z  1 ve g ( z )  z  2 olarak tanımlanan

Şekil 2.2 de gösterilen K kümesi bu G grubu için bir temel bölgedir.

Şekil 2.2.

G grubu için temel bölge

Şekildeki paralelkenarların her biri G grubu için bir temel bölgedir.

Şekil 2.3.

G grubu için temel bölgeler

Bölüm (Yörünge) Uzayları Tanım 2.5.1 A bir küme,

A kümesine etki eden bir grup ve a  A olsun.

Bu durumda,

Ga  {g (a) : g  G} kümesine a noktasının yörüngesi denir.

Tanım 2.5.2 A bir topolojik uzay ve G ,

A uzayına etki eden bir grup olsun.

Ga kümesi a  A noktasının yörüngesi olmak üzere,

a b  b  Ga olarak tanımlanan bağıntısı A üzerinde bir denklik bağıntısıdır.

Bu denklik bağıntısı A uzayını denklik sınıflarına ayırır ve herhangi bir a  A elemanının denklik sınıfı a elemanının yörüngesidir.

A  {Ga : a  A} bölüm kümesi ve

açıktır :  1 (O),

A uzayında açıktır "

"O  A

biçiminde tanımlanan O kümeleri A

üzerinde bir  topolojisi oluşturur.

, ) topolojik uzayına da bölüm uzayı veya bölüm uzayı G grubu yardımıyla elde edildiği için

topolojiye bölüm topolojisi,

yerine A G notasyonu kullanılacaktır.

A G geometrik olarak şu şekilde elde edilir.

G grubu için bağlantılı bir temel bölge olsun.

Temel bölge tanımından dolayı K kümesinin iki farklı iç noktası aynı yörüngede bulunamaz ama sınırı üzerinde birden fazla nokta aynı yörüngede bulunabilir.

K kümesinin sınırı üzerinde aynı yörüngede bulunan noktalar uygun şekilde birleştirilirse A G elde edilir.

Bu çalışmada A uzayı olarak genellikle Öklid düzlemi ve daha sonra tanıtılacak olan hiperbolik düzlem alınacaktır.

Örnek 2.5.1 Karmaşık sayılar kümesi üzerinde,

f ( z )  z  1 ve g ( z )  z  i biçiminde tanımlanan f ve g dönüşümleri kümesine etki eden ve  grubuna izomorf olan bir G grubu üretirler.

Bu durumda,

köşeleri 0,

i ve 1  i olan kare bu grup için bir temel bölge olur.

Bu temel bölgenin kenarları üzerinde aynı yörüngede bulunan noktalar birleştirilirse bölüm uzayının bir tor yüzeyi olduğu görülür.

1 i

Tor yüzeyi

Karmaşık düzlemde

kenar uzunlukları 1 birim ve kenarları eksenlere paralel olan herhangi bir karenin yukarıdaki örnekte verilen G grubu için bir temel bölge olduğu kolayca görülebilir.

üzerine etki eden ve ( ,

) grubuna izomorf olan bir G grubu üretir.

Şekil 2.5 te verilen F kümesi G grubu için bir temel bölgedir.

Bu temel bölgenin sınırı üzerinde bulunan ve aynı yörüngeye sahip noktalar uygun bir şekilde birleştirilirse bölüm uzayı olarak bir sonsuz silindir elde edilir.

Şekil 2.5.

Sonsuz silindir

Bir Çember Üzerinde Yansıma (İnversiyon) Karmaşık düzlemde p merkezli ve r yarıçaplı bir C çemberi ele alınsın.

C çemberinin üzerinde bulunmayan bir nokta olsun.

(2.6.1)

denklemini sağlayan bir tane z ' noktası vardır.

Bu z ' noktası z noktasının C çemberi üzerinde yansıtılması sonucu elde edilen noktadır.

Bu şekilde elde edilen yansımaya C çemberi üzerindeki yansıma veya inversiyon denir ve I c'notasyonuyla gösterilir.

  p dönüşümü çemberin merkezi hariç,

çemberin içindeki

noktaları dışındaki noktalara,

dışındaki noktaları ise içindeki noktalara götürür.

Bu durumda,

z  p iken z '   ve z '  p iken z   olur.

I c'dönüşümü çember üzerindeki noktaların her birini sabit tutar.

(2.6.2)

1967).

Şekil 2.6.

Bir çember üzerinde yansıma Eğer p  0 ve r  1 olarak alınırsa,

yukarıdaki formül yardımıyla birim çember üzerindeki yansıma Ic ( z) 

(2.6.3)

Örnek 2.6.1 Şekil 2.7 de verilen d1 çemberinin dışındaki bir z noktasının bu çember üzerindeki yansımasını veren T1 dönüşümünü bulmak için,

(i ) z  z  6 (ii ) z  (iii ) z 

(iv) z  2 z (v ) z  z  6

Şekil 2.7.

Bu beş dönüşümün verilen sırada bileşkesi alındığında (i ) ( ii ) z   z  6  

z  6 (iii ) 1 4 4 ( iv ) (v)     6 2 z 6 z 6  z 6    2 

O halde,

T1 ( z ) 

T1 dönüşümü

 6 kümesindeki bir z noktasını

götürür ve çember üzerindeki tüm noktaları sabit tutar.

Örneğin z  8 noktasını

86

Örnek 2.6.2 Şekil 2.8 de verilen d1 ve d'2 çemberleri üzerindeki yansımalar sırasıyla T1 ve T2 olsun.

T1 dönüşümünü bulmak için,

(iii ) z  z  1 adımları sırasıyla uygulanırsa,

T1 ( z ) 

Şekil 2.8.

Benzer şekilde,

T2 dönüşümünü bulmak için,

(iii ) z  z  1 adımları sırasıyla uygulanırsa,

(i ) ( ii ) z   z  1  

T2 ( z ) 

HİPERBOLİK GEOMETRİ 3.1.

Hiperbolik Düzlem Öklid’in beş temel aksiyomlarından bir tanesi aşağıda verilen paralellik aksiyomuna dektir: Paralellik aksiyomu: Düzlemde bir L'doğrusu ve bu doğruya ait olmayan bir p noktası verildiğinde,

p noktasından geçen ve L'doğrusuna paralel olan bir tek doğru vardır.

Paralellik aksiyomundaki p noktasından geçen ve L'doğrusunu kesmeyen birden fazla doğru bulunduran düzlem arayışları sonucunda Hiperbolik düzlem ve Hiperbolik Geometri ortaya çıkmıştır.

Bu konudaki ilk çalışmaları Carl Friedrich Gauss,

Nicolai Ivanovich Lobachevsky ve Janos Bolyai yapmıştır.

Çekme eğrisi olarak bilinen eğrinin x ekseni etrafında döndürülmesi sonucu elde edilen ve her noktasında eğriliği 1 olan yalancı küre (pseudosphere),

hiperbolik düzlem için ilk somut örneklerdendir (Beltrami,

1868).

Şekil 3.1.

Yalancı küre

Hiperbolik Düzlem İçin Bazı Modeller Hiperbolik düzlem için,

üzerinde geometrik çalışmaların yapılabildiği bazı modeller keşfedilmiştir.

Bu modellerden en çok kullanılanları,

üst yarı düzlem modeli ve birim daire modelidir.

üzerinde tanımlanan

hiperbolik düzlem için bir modeldir.

Bu model üst yarı düzlem modeli olarak bilinir.

  z  | | z | 1 kümesi de üzerinde tanımlanan ds 

hiperbolik düzlem için bir diğer modeldir.

Bu model ise birim daire modeli olarak bilinir.

Üst yarı düzlem modeline göre hiperbolik düzlemdeki doğrular,

reel eksene dik olan doğrular ve merkezi reel eksen üzerinde bulunan çemberlerin üst yarı düzlemde kalan kısımlarıdır (Şekil 3.2).

Şekil 3.2.

Üst yarı düzlem modeline göre doğrular Birim daire modeline göre ise hiperbolik doğrular,

birim çemberi dik kesen Öklid doğrularının ve çemberlerinin kümesinde kalan kısımlarıdır (Şekil 3.3).

Şekil 3.3.

Birim daire modeline göre doğrular Bu tezde genellikle model olarak üst yarı düzlem modeli kullanılacaktır.

Hiperbolik Düzlemde Doğrular Üst yarı düzlem modeline göre hiperbolik doğruların,

reel eksene dik Öklid doğrularının ve merkezi reel eksen üzerinde bulunan Öklid çemberlerinin üst yarı düzlemde kalan kısımları olduğundan bahsedildi.

Şekil 3.4 de verilen d'2 doğrusunun bir ucu reel eksen üzerindedir ve bu nokta hiperbolik düzleme dâhil değildir.

Diğer ucunun ise sonsuzda olduğu varsayılır.

d1 d2

Şekil 3.4.

Hiperbolik doğrular Tanım 3.3.1 d1 ve d'2 hiperbolik düzlemde farklı iki doğru olsun.

Bu durumda

  üzerinde d1 ve d'2 doğrularının ortak bir noktası varsa bu doğrular

paraleldirler (Şekil 3.5 a ).

kümelerinde doğruların hiçbir ortak noktaları yoksa,

ayrık paraleldirler (Şekil 3.5 b ).

de bir tek ortak noktaları varsa,

doğrular kesişirler (Şekil 3.5 c').

Şekil 3.5.

Paralel,

ayrık paralel ve kesişen hiperbolik doğrular Teorem 3.3.1 Hiperbolik düzlemde bir L'hiperbolik doğrusunun üzerinde olmayan bir P noktasından geçen ve L'doğrusunu kesmeyen sonsuz hiperbolik doğru vardır.

İspat: (Anderson,

1999).

17 3.4.

Hiperbolik Düzlemin İzometrileri Hiperbolik düzlemin izometrileri beş gruba ayrılırlar.

Bunlar

ötelemeler,

dönmeler,

ötelemeli yansımalar ve limit rotasyonlardır.

Bu izometrilerden yansımalar ve ötelemeli yansımalar yönü korumayan izometriler

ötelemeler,

dönmeler ve limit rotasyonlar ise yönü koruyan izometrilerdir.

Bu kısımda,

limit rotasyonlar dışındaki izometriler tanıtılacak,

limit rotasyonlar ise son bölümde daha detaylı olarak incelenecektir.

Teorem 3.4.1 Hiperbolik düzlemin yönü koruyan izometrileri çift sayıda yansımanın,

yönü korumayan izometrileri tek sayıda yansımanın bileşkesi olarak ifade edilebilirler.

İspat: (Stillwell,

1992).

Yansıma: Hiperbolik düzlemde bir d'doğrusu verilsin.

Bu doğru reel eksene dik olan bir yarı doğru veya bir yarım çemberdir.

Şayet d'bir yarım çember ise d'üzerindeki yansıma kendisi üzerindeki inversiyon ile aynıdır ve bunun denkleminin nasıl bulunacağı ikinci bölümde açıklanmıştır.

Eğer d'bir yarı doğru ise bu doğru üzerinde tanımlanan yansıma Öklid anlamındaki yansıma ile aynıdır ve bu yansıma T ( z )   z  a olarak tanımlanır.

Burada a,

d yarı doğrusunu üzerinde bulunduran Öklid doğrusunun reel ekseni kestiği noktadır.

Öteleme: Hiperbolik düzlemde d1 ve d'2 ayrık paralel doğruları verilsin.

Bu doğruların her ikisini de dik kesen bir tane d'3 doğrusu vardır.

X ve Y noktaları d'3 doğrusunun sonsuzdaki noktaları olmak üzere,

doğrularını A ve B noktalarında kessin (Şekil 3.6).

A ve B noktaları arasındaki hiperbolik uzaklık q ve d1 ve d'2 doğruları üzerindeki yansımalar da sırasıyla 1 ve  2 olsun.

Bu yansımaların bileşkeleri alınarak elde edilen   2 1 ve

1  1 2 dönüşümlerinin her biri d'3 doğrusunu kümesel olarak sabit tutan bir hiperbolik ötelemedir.

 ve  1 ötelemelerinin hiperbolik düzlemde sabit noktaları yoktur.

Fakat sonsuzdaki X ve Y noktalarını sabit tutarlar.

Ayrıca,

d 3 doğrusundan başka hiçbir doğruyu kümesel olarak sabit tutmazlar.

d 3 doğrusu üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere,

 ve  1 ötelemeleri 0 noktasını d'3 doğrusu üzerinde 2q kadar ötelerler.

 1 ötelemesi tam tersi yönde öteler.

Fakat her iki durumda da öteleme mesafesi değişmez.

T (0 )

Şekil 3.6.

Hiperbolik düzlemde öteleme Dönme: d1 ve d'2 doğruları hiperbolik düzlemde iki doğru olsun.

Bu doğrular

  90 olacak şekilde bir X noktasında kesişsinler (Şekil 3.7).

  2 1 ve 1  1 2 dönüşümlerinin her biri X noktasını sabit tutan bir dönmedir.

 ve  1 X noktası dışındaki noktaları X noktası etrafında 2  kadar fakat birbirlerine ters yönde döndürürler.

ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ ÇİNE MESLEK YÜKSEKOKULU DÖNEM:

tablo-3 ek yerleştirme ile öğrenci alan yükseköğretim önlisans

O ADÜ HABER SAYI 6 14 30'da Üniversitemiz Kültür ve Spor Salo Çine, Büyük Menderes havzasinin güneyinde, Çine Çayı'nın suladığı yeşil alanlara 15 Şub 2017 MADDE 2 (1) Bu Esaslar, Adnan Menderes Üniversitesinde ders kayıt işlemleri

Ładniejszy i nie tylko

Stolarka może być ładniejsza

PDF Chcę mieć ładniejsze nogi Icoone icoone pl ckeditor kcfinder upload images superlinia pdf PDF Pobierz w PDFbdaesthetic wp ZWIERCIADŁO WYDANIE SPECJALNE pdf PDF Maria Krüger Karolcia Orsza orsza nazwa pl images media

Sep 14, 2016 Location Career Services Alumni Relations Andrew Young School of Policy Studies Georgia State University 14 Marietta Street NW, G47 Andrew Young School of Policy Studies GEORGIA STATE UNIVERSITY PO Box 3995 Atlanta, GA 30302 3968

PDF ANÁLISE DE ADOÇÃO DAS VARIEDADES DE MANDIOCA Ainfoainfo cnptia embrapa br ANALISE DE ADOCAO DAS VARIEDADES Resumo n 188 Cicero Cartaxo poster pdf PDF ANÁLISE DE ADOÇÃO DE MANDIOCA Ainfo A Embrapaainfo cnptia embrapa br

repositorio ufpe br bitstream 123456789 17144 1 Adoção da Inovação em Modelos de Negócios Estabelecidos um Estudo de Caso em Tecnologia da Informação Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação em Ciência da Computação da Universidade Federal de Pernambuco, como requisito parcial para a obtenção do título de

Resumo O objetivo deste trabalho é estudar os fatores determinantes da difusão e adoção de tecnologias de produto e processo pelos produtores de café 2 abr 2015 A adoção e difusão de aplicações informáticas nas organizações é um fenómeno colocam maiores desafios ?

PDF A tendência antissocial de crianças adotadas PUC Campinastede bibliotecadigital puc campinas edu br 8080 Renata 20Mara 20Alves 20dos 20Reis pdf PDF Adoção de Resposta Rápida e gerenciamento de SciELO scielo br pdf gp

Zehra Sayın 8 2 Elma Toplama Oyunu çözme becerisine sahip olmayan çocuklar, bir problemle karşılaştıklarında aksiyona Ankara'dan yola çıkıp ( başlangıç noktası), İstanbul'a ulaşmak istiyorsunuz (bitiş noktası) Şekil 10 Scratch kurabilmek için gerekli Adobe AIR ve

Adobe Acrobat 9 Código: 7-241

Title 14 - US Department of Transportation

Sep 30, 2011 241 Validating signatures Examples include Acrobat 8 with Adobe Reader 9, or Acrobat 7 with Allow PostScript XObjects PostScript XObjects store fragments of PostScript code to be used when a PDF is printed Nov 3, 2015

Home back 142514261427142814291430 Next

Adnan Menderes Üniversitesi - idariaduedutr

idari adu edu tr FenBilimleriEnstitusuYonerge pdf Madde 12 a) Tezler Adnan Menderes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Kurulunca kabul edilen ve Senato tarafından onaylanan “Tez Yazım Kılavuzu” na göre yazılır b) Doktora tez jürisi, anabilim dalı kurulunun önerisi ve enstitü yönetim kurulu kararı ile atanır Jüri üyelerinin

https://www.idari.adu.edu.tr/db/ogrenciisleri/webfolders/topics/FenBilimleriEnstitusuYonerge.pdf

Adnan Menderes Üniversitesi - idariaduedutr

idari adu edu tr db ogrenciisleri webfolders topics ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ EĞİTİM ÖĞRETİM VE SINAV YÖNERGESİ* BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam Dayanak ve Tanımlar Amaç MADDE 1– (1) Bu Yönergenin amacı; Adnan Menderes Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesinde kayıt, eğitim öğretim ve sınavlarda uygulanacak esasları düzenlemektir Kapsam

https://www.idari.adu.edu.tr/db/ogrenciisleri/webfolders/topics/29-%20FEN-EDEBIYAT%20FAKULTESI.pdf

ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ, FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ, TEZ

akademik adu edu tr enstitu fen webfolders topics ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ, FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ, TEZ YAZIM KILAVUZU 1 GİRİŞ Bu kılavuzun amacı, Adnan Menderes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü (FBE)’ne bağlı anabilim dallarında hazırlanan yüksek lisans ve doktora tezlerinin sunuluunda uyulacak kuralların tanıtılması ve bilimsel sunu standartlarına

https://www.akademik.adu.edu.tr/enstitu/fen/webfolders/topics/tezyaz%C4%B1mklavuzu%2022.04.2015%20tarih%202015-09%20say%C4%B1l%C4%B1%20senato%20karar%C4%B1%20ile.pdf

Aydın Adnan Menderes Üniversitesi Rektörlüğünden

akademikadro adnan menderes universitesi pdf Aydın Adnan Menderes Üniversitesi Rektörlüğünden 11727 1 1 Ûniversitemiz birimlerine, 10 012018 tarih ve 30474 Resmi Gazete'de yaylrnlanan Genel Kadro ve Usulü Hakklnda 2 Saylll Cumhurbaskanhgl Kararnamesi, 2547 saylll Kanunun ilgili maddeleñ ve 09

https://akademikadro.net/statik/62e71f849370edef78341f92d2ecb4a8/adnan-menderes-universitesi.pdf

ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ - adudspaceaduedutr:8080

adudspace adu edu tr 8080 jspui bitstream 11607 1420 3 N ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE AYDIN Bu tezde sunulan tüm bilgi ve sonuçların, bilimsel yöntemlerle yürütülen gerçek deney ve gözlemler çerçevesinde tarafımdan elde edildiğini, çalışmada bana ait olmayan tüm veri, düşünce, sonuç ve bilgilere bilimsel etik kuralların gereği

https://adudspace.adu.edu.tr:8080/jspui/bitstream/11607/1420/3/N.%20Funda%20EDREM%C4%B0T.pdf

ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TARIM

adudspace adu edu tr 8080 jspui bitstream 11607 857 1 adnan menderes Ünİversİtesİ fen bİlİmlerİ enstİtÜsÜ tarim makİnalari anabİlİm dali ztm yl 2009 0002 aydin yÖresİnde pamuk hasat makİnalarinin kullanim olanaklari ve gelİŞİmİ esra sinav daniŞman prof dr cengiz Özarslan aydin 2009

https://adudspace.adu.edu.tr:8080/jspui/bitstream/11607/857/1/ztm_esra_sinav_tez.pdf.pdf

<